Si consideri una lunga corda tesa nella direzione dell’asse x, lungo la quale si propaga, da sinistra verso destra, un’onda unidimensionale trasversale, a cui è associata una perturbazione in direzione y. Ad un certo istante, ad es. per t = 0, la forma della corda è rappresentata da una certa funzione di x (fig. 1a):

Ipotizzando che la perturbazione si propaghi nella corda con velocità costante v, al generico istante t avrà percorso una distanza s = vt dalla posizione che aveva all’istante iniziale. Se le perdite nel mezzo sono trascurabili, la perturbazione si propaga senza cambiare forma, per cui all’istante t deve essere descritta dalla funzione g, con la differenza che gli stessi valori della perturbazione y devono ora corrispondere a valori di x aumentati della quantità vt (fig. 1b). Dal punto di vista matematico, se g(x) è la funzione che descrive la perturbazione all’istante t = 0, la funzione che descrive la perturbazione al tempo t deve avere la forma

(2)   y = g(x - vt)

L’espressione 2 rappresenta l’equazione generale di un’onda unidimensionale che si propaga, senza attenuazione, nel verso positivo dell’asse x (onda progressiva). Per ottenere l’equazione di un’onda che si propaga con velocità -v nel verso negativo dell’asse x (onda regressiva), è sufficiente osservare che in questo caso, al generico istante t, la perturbazione ha percorso una distanza -vt verso sinistra rispetto alla posizione iniziale. Pertanto, se l’espressione 1 rappresenta la perturbazione all’istante iniziale, l’espressione dell’onda all’istante t dovrà essere tale da far corrispondere i valori della perturbazione y a valori di x diminuiti della quantità vt (fig. 1c):

(3)   y = g(x + vt)

Vediamo ora come si debbano modificare le equazioni dell’onda in presenza di attenuazione. Per le onde unidimensionali, nel caso in cui l’attenuazione non modifichi la forma della perturbazione, si ha un’espressione in cui g risulta moltiplicata per un termine smorzante A(x), il cui valore sia 1 nel punto di partenza della perturbazione. Se l’incidenza dell’attenuazione non dipende dall’ampiezza dell’onda e il mezzo è omogeneo, la riduzione relativa per unità di lunghezza della perturbazione è costante; in altre parole, ad un certo spostamento x della perturbazione corrisponde una attenuazione relativa che non dipende dall’origine dello spostamento. Se ciò è verificato, il fattore di attenuazione è una funzione esponenziale negativa di x, che, in base e, ha la forma

Se l’attenuazione è dunque del tipo descritto, l’equazione di un’onda progressiva generata in un punto x₀ dell’asse x ha la forma (fig. 2a)

mentre per un’onda regressiva generata in un punto x₀ dell’asse x, poiché l’attenuazione si verifica nel verso delle x decrescenti, si deve avere (fig 2b)